Математика...Франсоа Виет

Надали има човек, завършил средното си образование, който не е чувал името на Франсоа Виет. Поне като словосъчетанието „формули на Виет”, а именно онези, които дават връзка между корените на квадратното уравнение и коефициентите пред старшата, първата степен и свободния член. Освен с тях, обаче, французинът допринася за израстването на математиката и в много други насоки. Внася, например, значителни подобрения в алгебричната символика, има дял в разработването на тригонометрията и изобщо е един от най-бележитите математици на своето време.

Виет е роден във Фонтале ле Конт, провинция Поато. По образование е юрист и от деветнадесетгодишна възраст се заема с адвокатска практика в родния си град. Освен това обаче, френският математик се занимава и с преподаване. Дори докато учи дъщерята на един от знатните си клиенти му хрумва мисълта да състави труд, в който да усъвършенства Птолемеевата система. И част от съчинението действително излиза през 1637 г. Но основната му страст е математиката. Докато се занимава с подготовката на този труд, Виет започва и разработването на тригонометрията. Работи дълго и упорито, докато през 1570 г. завършва своят „Математически канон”, публикуван в Париж девет години по-късно.

След завършването на този труд, през 1571 г. Франсоа Виет се премества да живее в Париж, където има възможност да контактува с едни от най-забележителните математически умове на времето си, включително Рамус. Две години по-късно французинът успява да се установи на държавна работа, като благодарение на брака на една от ученичките си с принц де Роган съумява да направи блестяща кариера и да се издигне до съветник на Анри III и Анри IV. Слава му носи и разшифроването на криптирани съобщения, разменяни от враговете на Анри III, но голямата му страст, на която посвещава цялото си свободно време продължава да бъде именно математиката.

Успехът и славата водят до завист и Виет успява да се сдобие с доста сериозни неприятели. Така, през 1589 г., е отстранен от длъжността си по тяхно настояване. Годините преди това обаче французинът посвещава на задълбочено изучаване на Архимед, Диофант и други велики умове на древността, както и на някои по-близки свои предшественици като Кардано, Тарталия и Стевин. Паралелно с това, а може би и именно благодарение на тези изследвания, Виет напредва изключително много със създаването на новата символна алгебра.

Общите идеи и основни принципи на новата алгебра Виет излага във „Въведение в аналитичното изкуство”. В него той отбелязва, че задачите, които са решавани преди това ново изкуство са имали проблема, че се борави с числа, а когато се оперира с величини на първа стъпка и чак на втора с числа, дори най-трудните задачи, с които математиците са се борили могат да се решават с десетки.

Виет дава на видовата логистика, иначе казано на онази система от математически обекти, геометрични и псевдогеометрични, които са свързани с отношения аналогични на аритметичните, необходимата общност, като създава символика, при която има знаци не само за неизвестните, но и за произволни променливи величини. Видът на тази символика не е много различен от познатият ни, макар да се отличава значително. Например известните скалари Виет бележи със главни латински съгласни, а неизвестните - с главни латински гласни букви.

Освен единността на записа, която според Виет е много важна, френският математик дава истински тласък в науката с използването на буквени коефициенти, дума, която между другото самият той въвежда в употреба. Чрез символната си алгебра Виет решава множество задачи, привеждайки и числови решения, с които убеждава в правотата си. Символиката, която използва, влиза в употреба и на други математици, и въпреки че в наши дни са очевидни недостатъците й, се запазва чак до средата на седемнадесети век и с нея са си служили дори велики математици като Ферма.

А измежду недостатъците бихме могли да посочим например това, че степените се изразяват с думи. Освен това е като цяло прекалено претрупана и недостатъчно гъвкава, което скоро става очевидно. Тази трудност обаче бързо е отстранена, за да може новият подход да се разпростре върху произволни показатели.

Но нека се върнем към Виет. Той прилага символното си смятане към широк кръг задачи, но по-важното е, че след разработването на общ апарат за алгебрични преобразувания, французинът излага и доста пълно теорията на уравненията от първите четири степени. Използва хитроумни трансформации, за да приведе, например, уравнения от трета степен в бикубични, както и показва, че решението на произволно кубично уравнение се свежда до трисекция на ъгъл и решава неприводимия случай с тригонометрични средства.

Виет се занимава не само с алгебричните уравнения, съответстващи на разделяне на ъгъл на три части, а и на пет, седем и т.н. Това му позволява да отговори на предизвикателството на холандеца Адриан ван Роомен и да реши неговото уравнение, от четиридесет и пета степен по доста изобретателен начин. Виет забелязва, че свободният член е страната на правилен петнадесетоъгълник вписан, чиято описана окръжност е с радиус единица, или иначе казано е хордата на дъга от двадесет и четири градуса.

По коефициентите пред първия и предпоследния член пък заключава, че неизвестното е една четиридесет и пета от тази дъга и така намира едно решение. На следващият ден открива още двадесет и два корена. Останалите са отрицателни и тъй като нито те, нито имагинерните отговарят на неговите скалари Виет не се занимава с тях.

В „За анализа и усъвършенстването на уравненията” френският математик разпространява линейната субституция x=y+h, използвана от Кардано за премахване на коефициента пред втората степен на кубичното уравнение. Освен това дава широка гласност и на реципрочната субституция x=k/y, за отстраняване на ирационалност и отрицателни коефициенти и друга линейна субституция, а именно x=ky, за премахване на дроби в коефициентите.

Но най-интересното в този труд е въпросът за съставянето на уравнения по зададени корени и близкия нему проблем за връзките между корените и коефициентите. Чрез примери за уравнения от втора до пета степен с положителни корени и коефициент по модул равен на единица пред старшата степен, Виет показва, че коефициентите пред по-малките степени са точно сбора на двойките корени, на тройките корени и т.н. взети с редуване на знака. И тук Виет стига най-далеч от своите предшественици и именно затова наричаме тези формули "формули на Виет", въпреки че са били изказани в явен вид за уравнение от втора степен още от Кардано.

Французинът полага основите и на още един дял от математиката. В изследванията му, могат да се намерят първите стъпки водещи към създаването на теорията на симетричните функции и разлагането на полином до множители от първа степен, които по-късно ще доведат до откриването на една основна теорема в алгебрата, а именно тази за броя на корените на уравнение от произволна степен.

Тръгвайки от биномните уравнения и усложнявайки постановката, Виет също така разработва и метода за приближено решение на алгебрични уравнения с числени коефициенти. Метод, който е доста претрупан и тромав, но се използва чак до седемнадесети век, когато Нютон привежда по-прост такъв.

Трудовете на Виет дават голям тласък в развитието на алгебрата, но стават база и за успешното развитие на други клонове на математиката по-късно, като аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. Всъщност във връзка с второто можем да споменем и още едно голямо постижение на френския математик, а именно представянето на числото пи като безкрайно произведение на квадратни корени.

След всичко това няма съмнение, че Виет е един от най-забележителните умове на своето време, човек, без чието присъствие на историческата сцена, науката надали щеше да извърви своя път на бурен растеж през Ренесанса. И въпреки че животът му е белязан основно от работата, се надявам, че ви беше приятно и може би полезно да се запознаете с нея.